Bilangan Bulat, Pecahan dan Operasinya
&
Dosen Pengampu : Moh. Khoridatul Huda, M.Si
Kelas: TMT 3-F
Anggota Kelompok 1 :
1. Rika Rihadatul Ais (2814133156)
2. Samrotul Fuadah (2814133170)
3. Serliana Daniel (2814133177)
4. Siti Zulfa Istikomah (2814133185)
Jurusan Tadris Matematika
Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan
Institut Agama Islam Negeri (IAIN)
Tulungagung
2014
PEMBAHASAN
A. BILANGAN BULAT, PECAHAN DAN OPERASINYA
1. Bilangan Bulat
v Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bagian dari bilangan rasional yang terdiri dari bilangan positif, nol, bilangan bulat negatif dan tidak berbentuk . [1]
v Operasi Bilangan Bulat
1) Penjumalah dan Pengurangan Bilangan Bulat
Sifat-sifat penumlahan dan pengurangan bilangan bulat, antara lain:
Sifat 1
Misalkan a, b bilangan bulat. Mengurangkan b dari a sama halnya dengan menjumlahkan a dengan lawan dari b, ditulis
a – b = a + (-b)
Sifat 2
Himpunan Bilangan Bulat bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan atau pengurangan. Artinya, jumlah atau selisih dua bilangan bulat, pasti bilangan bulat. Ditulis sebagai berikut
Misal a,b Z, maka ( a + b)
( a – b ) Z
Sifat 3
Himpunan Bilangan Bulat memiliki unsur identitas penjumlahan dan pengurangan, yaitu 0. Jadi jumlah bilangan bulat dengan nol adalah bilangan itu sendiri. Yaitu
a 0 = a, dengan a bilangan bulat.
Sifat 4
Operasi penjumlahan pada bilangan bulat memenuhi sifat komutatif (pertukaran), yaitu
a b = b a, a dan b adalah bilangan bulat
Sifat 5
Misalkan a, b, dan c adalah bilangan bulat. Operasi penjumlahan pada bilangan bulat memenuhi sifat asosiatif (pengelompokan), yaitu [2]
a (b c) = (a b) c
2) Perkalian Bilangan Bulat
Definisi [3]
Misalkan a, b bilangan bulat positif.
Perkalian bilangan a dan b adalah penjumlahan berulang bilangan b sebanyak a suku, dapat ditulis
sebanyak a suku
Sifat-sifat perkalian bilangan positif, yaitu
Sifat 1
Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka
Sifat 2
Bilangan Bulat bersifat tertutup terhadap operasi perkalian, artinya hasil perkalian dua atau lebih bilangan bulat pasti hasilnya bilangan bulat.
Misalkan a, b Z, maka ( ) Z
, Z
Sifat 3
Beberapa sifat hasil operasi perkalian pada bilangan bulat
1. Setiap bilangan bulat dikalikan dengan 0 (nol) hasilnya nol, yaitu:
2. Setiap bilangan bulat dikalikan dengan 1 hasilnya bilangan bulat itu sendiri, yaitu:
Sifat 4
Misalkan a dan b bilangan-bilangan bulat. Operasi perkalian pada bilangan bulat memenuhi sifat komutatif, dapat ditulis:
a × b = b × a.
Sifat 5
Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan bulat. Operasi perkalian pada bilangan bulat berlaku sifat assosiatif, dapat ditulis:
a × (b × c) = (a × b) × c
Sifat 6
Untuk a, b, dan c bilangan bulat, berlaku sifat:
a × ( b c ) = ( a × b ) ( a × c )
Kedua sifat ini disebut sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan pada bilangan bulat.[4]
3) Pembagian Bilangan Bulat
Definisi [5]
pembagian merupakan operasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut. Jika a, b dan c bilangan bulat, dengan b faktor a, dan b maka berlaku
Sifat-sifat pembagian bilangan bulat:
Sifat 1
Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka
Sifat 2
Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; a 0. Hal ini tidak
berlaku jika a = 0, karena 0 : 0 tidak terdefinisi.[6]
4) FPB dan KPK
- Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat atau lebih adalah bilangan terbesar di antara faktor-faktor persekutuannya.[7]
- Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dua bilangan bulat positif atau lebih adalah bilangan terkecil di antara kelipatan persekutuannya.[8]
5) Perpangkatan Bilangan Bulat[9]
; dimana
v Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Bulat:
Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat terdapat tanda kurung, pengerjaan yang berada dalam tanda kurung harus dikerjakan terlebih dahulu. Apabila dalam suatu operasi hitung bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.
(a) Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
(b) Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
(c) Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).[10]
v Contoh Soal UN
1. Suhu di dalam kulkas sebelum dihidupkan 29° C. Setelah dihidupkan, suhunya turun 3° C setiap 5 menit. Setelah 10 menit suhu di dalam kulkas adalah ...
a. 23°C
b. 26° C
c. 32°C
d. 35°C
(soal UN 2008)
Jawab:
Banyak kali penurunan = 10 menit : 5 menit = 2 kali penurunan
Total besar suhu penurunan = 2
Suhu dalam Kulkas setelah 10 menit
Jadi selama 10 menit suhu di dalam kulkas sejak dihidupkan menjadi 23
(Jawabannya A)
2. Hasil dari − 6 + ( 6 : 2 ) −( (−3) × 3 ) adalah ...
A. 0
B. 3
C. 6
D. 9
A. 0
B. 3
C. 6
D. 9
(soal UN 2010)
Jawab:
− 6 + ( 6 : 2 ) −( (−3) × 3 ) = (sifat perkalian)
= (operasi penjumlahan)
= 6
(Jawabanya C)
v Contoh Kasus Olimpiade
1. Bentuk paling sederhana dari adalah ...
(soal OSN SMP/MTS 2014)
Pembahasan:
(manipulasi aljabar)
= (sifat perpangkatan )
= (sifat komutatif)
= (operasi pengurangan )
=
= (26 dikeluarkan, kemudian sederhanakan)
= 26
Jadi Bentuk paling sederhana dari adalah 26
2. Diketahui jumlah n buah bilangan bulat positif ganjil berurutan adalah 5929. Tentukan nilai n terkecil yang mungkin?
(Soal olimpiade 2013 se-provinsi)
Pembahasan :
Menurut informasi dari soal bahwa terdapat jumlah n buah bilangan bulat positif ganjil berurutan sama dengan 5929. Hal ini berarti bahwa, karena n bilangan bulat positif ganjil sama dengan bilangan ganjil yaitu 5929, maka n akan bernilai ganjil juga.
Untuk mengetahui nilai n, maka kita bagi bilangan 5929 dengan bilangan bulat ganjil positif mulai yang terkecil sehingga mendapatkan hasil bilangan bulat ganjil positif, yaitu:
Misalnya
5929 : 1 tidak mungkin karena n buah bilangan bulat positif ganjil berurutan maka artinya bahwa nilai n semestinya n>1
5929 : 2 tidak mungkin karena angka satuannya tidak habis membagi dua
5929 : 3 tidak mungkin karena 5+9+2+9 tidak habis di bagi 3
5929 : 7 mungkin, 592-9(2) = 574 dan 57 – 4(2) =49 serta 49 :7= 7, sehingga 5929 habis dibagi 7 yaitu 847.
2. Bilangan pecahan
v Pengertian Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk , a dan b adalah bilangan bulat, dan b bukan faktor dari a. Bilangan a disebut pembilang dan b disebut penyebut.[11]
v Macam-Macam Pecahan
1) Pecahan Biasa: Pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya.
Misalnya:
2) Pecahan Campuran : Pecahan yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya.
Misalnya:
3) Pecahan Desimal : pecahan yang dlam penulisannya menggunakan tanda koma.
Misalnya:
4) Pecahan Persen : Pecahan yang menggunakan lambang % yang berarti perseratus
Misalnya:
Pecahan Permil : Pecahan yang menggunakan lambang yang berarti perseribu
Misalnya:
v Operasi Bilangan Pecahan
Operasi pada bilangan pecahan:
1. Penjumlahan dan Pengurangan pada Bilangan Pecahan
Dalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan dua pecahan (untuk pecahan campuran dan desimal, sebelum dioperasikan diubah ke dalam bentuk pecahan), samakan penyebut kedua pecahan tersebut, yaitu dengan cara mencari KPK dari penyebut-penyebutnya. Kemudian, baru dijumlahkan atau dikurangkan pembilangnya.[12]
2. Perkalian pada Bilangan Pecahan
Sifat-sifat perkalian pada bilangan pecahan
Nb: untuk pecahan campuran dan pecahan desimal, sebelum dioperasikan diubah menjadi bentuk pecahan biasa.[13]
3. Pembagian pada Bilangan Pecahan[14]
Untuk sembarang pecahan dan , dimana b, d 0, berlaku
; dimana merupakan invers dari
4. Perpangkatan Pecahan[15]
NB: a, b, c, d, m, n
v Contoh Soal UN
1. Ibu membeli 40 kg gula pasir, gula itu akan dijual eceran dengan dibungkus plastik. Masing-masing beratnya kg. Sebannyak kantong plastik berisi gula yang diperlukan adalah ...
(UN 2010 dan 2011)
a. 10 kantong
b. 80 kantong
c. 120 kantong
d. 160 kantong
Jawab:
40 : = 40 (sifat pembagian pada pecahan)
= 160
Jadi, banyak bungkus yang diperlukan adalah 160 buah
( jawabannya D )
2. Hasil dari adalah ...
a. 2
b. 2
c. 3
d. 3
(UN 2010 dan 2011)
Jawab:
(operasi pembagian di dahulukan)
(sifat pembagian pada pecahan)
(disamakan penyebutnya)
(operasi penjumlahan pada pecahan)
(disederhanakan)
(di ubah ke dalam bentuk pecaahan campuran)
Jadi hasil dari adalah
(jawabannya D)
v Contoh Khasus Olimpiade
1. Jika hasil penjumlahan empat pecahan dari enam pecahan dan adalah , maka hasil kali dua pecahan lainnya adalah...
(soal OSN SMP/MTS 2014)
Pembahasan :
Untuk mengetahui penjumlahan empat pecahan , dan mengetahui hasil kali 2 pecahan lainnya, terlebih dulu kita samakan penyebutnya, yaitu:
dan dan
Kemudian didapat juga
Kemudian mecari empat pecahan yang dijumlah kan hasilnya , yaitu
Maka hasil kali dua pecahan lainnya adalah
Jadi hasil kali dua pecahan lainnya adalah
2. Jika dan q , maka = ..........
a. 49 c. 55 e. 61
b. 52 d. 58
Jawab:
(di substitusikan)
(dioperasikan)
(dipangkatkan)
(dioperasikan)
Jawabannya (c)
B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR
1. Bentuk Aljabar
Belajar aljabar adalah belajar bahasa lambang dan operasi atau relasinya. Lambang aljabar adalah suatu tempat bagi bilangan-bilangan atau lambang yang mewakili bilangan-bilangan. Pada sebarang lambang aljabar dapat diberikan nilai tertentu sesuai persyaratan yang dikehendaki. Lambang bilangan tidak termasuk lambang aljabar tetapi menunjukkan nilai bilangan tersebut. Contoh lambang aljabar : pada ini, a, b, c, 0 adalah lambang-lambang aljabar, dengan operasi + dan relasi =.
Variabel aljabar adalah lambang atau gabungan lambang yang mewakili sebarang anggota dalam himpunan semestanya. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ... z. suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Suku aljabar adalah seperangkat lambang aljabar yang dapat berupa variabel atau konstanta dan ditulis tanpa tanda operasi tambah atau kurang. Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. [16]
2. Operasi hitung pada bentuk aljabar
a. Penjumlahan dan pengurangan
Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dengan memperhatikan suku-suku yang sejenis. Suku-suku sejenis pada bentuk aljabar yaitu suku-suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. [17]
1. Sifat distributif :
2. Sifat komutatif :
3. Sifat asosiatif :
b. Perkalian
Sifat distributif juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar. Jika Perkalian suku dua dengan skalar (misalnya k) dinyatakan sebagai berikut.[18]
.
(ax + b) (cx + d) = ax cx + ax d + b cx + b d
= acx2 + (ad + bc)x + bd
c. Perpangkatan pada bentuk aljabar
Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalian berulang dengan unsur yang sama. Untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku[19]
sebanyak n kali
d. Pembagian
jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi dengan a, p, q bilangan bulat maka p dan q disebut faktor-faktor dari a. Jika dua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasil bagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentuk aljabar kalian harus menentukan terlebih dahulu faktor sekutu kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian. [20]
e. Pemfaktoran bentuk aljabar
Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan atau perngurangan menjadi suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar tersebut. faktorisasi dari beberapa bentuk aljabar sebagai berikut:[21]
1. Bentuk
Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku atau lebih dan memiliki faktor sekutu dapat difaktorkan dengan menggunakan sifat distributif.
2. Bentuk selisih dua kuadrat
Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku dan merupakan selisih dua kuadrat dapat dinyatakan:
3. Bentuk
a.
b.
4. Bentuk dengan a = 1
Untuk memfaktorkan bentuk x2 + bx + c dilakukan dengan cara mencari dua bilangan real yang hasil kalinya sama dengan c dan jumlahnya sama dengan b.
x2 + bx + c = (x + m) (x + n)
dengan m n = c dan m + n = b; dimana m dan n
5. Bentuk ax2 + bx + c dengan a 1, a 0
Bentuk ax2 + bx + c dengan a 1, a 0 dapat difaktorkan dengan cara
ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c dengan p q = a c p + q = b
v Contoh Miskonsepsi pada Bilangan Bulat dan Aljabar
1. Pada kasus bukan diartikan dengan tapi pengoperasiannya dengan cara dijumlahkan terlebih dulu kemudian dikuadratkan sehingga
2. Pada kasus bukan diartikan dengan penjumlahan 2 sebanyak 3 kali yaitu , tapi penjabarannya dengan penjumlahan 3 sebanyak 2 kali sehingga .
3. Pada kasus tidak bisa dijumlahkan menjadi karena bilangan bulat yang diakar kuadratkan tidak sama nilainya, sehingga pada contoh seperti itu tidak bisa dioperasikan.
4. Pada kasus tidak bisa diartikan dengan , pangkat 4 dihasilkan dari 2+2, karena dianggap sifat bilangan bulat pangkat pada perkalian bisa dioperasikan. Pada kasus ini pangkat bilangan bulat yang bisa dioperasikan yaitu apabila bilangannya senilai contohnya .
5. Pada kasus aljabar, misalnya tidak bisa diartikan dengan mengoperasikan semua bilangan. Pada permisalan seperti ini untuk mengoperasikan semua bilangan harus memperhatikan variabelnya dulu karena jika variabelnya berbeda itu tidak bisa dioperasikan sehingga .
v Contoh Soal UN
1. Pemfaktoran dari adalah ...
a. (2x + 3y)(2x + 3y)
b. (2x + 3y)(2x – 3y)
c. (4x – 9y)(x – y)
d. (4x + 9y)(x – y)
(Soal UN 2008)
Pembahasan:
(aplikasi rumus )
Maka (aplikasi rumus )
(jawabannya B)
2. Hasil dari adalah ...
a.
b.
c.
d.
e.
(Soal UN 2008)
Jawab :
(disamakan penyebutnya)
=
(jawabannya E)
v Contoh Kasus Olimpiade
1. Diketahui x + y = 12 dan = 432. Nilai dari adalah…
a. 260 b. 350 c. 360 d. 340
Jawab:
Diketahui : x + y = 12 dan = 432
x = 12 – y ( 12 – y )3 + y3 = 432 (disubstitusikan)
1728 +3.122.y + 3.y2.12 – y3 + y3= 432 (sifat distribusi)
36y2 + 432y +1296 = 0 (semua di bagi 36)
y2 + 12y + 36 = 0
( y + 6 ) (y + 6 ) = 0 (difaktorkan)
y = – 6
x = 12 18 ( pengurangan)
= 182 + (-6)2 = 324 + 36 (disubstitusikan, lalu di operasikan)
= 360
(Jawabannya C )
2. Hasil pemfaktoran dari x2 + 12x – 864 adalah …
a. (x+36)(x - 24) b. (x – 36)(x+24) c. (x+36)(x + 24)
d. (x – 36)(x – 24) e. (36x + 1)(24x - 1)
Jawab :
x2 + 12x – 864 = x2 + 36x – 24x – 864 (di jabarkan )
= (x2 + 36x) – ( 24x + 864) (dikelompokkan)
= x(x + 36) – 24(x + 36) (disederhanakan)
= ( x + 36) ( x - 24) (sifat distribusi)
(jawabannya A)
3. Bentuk sederhana dari ( 8x3 + 8x2 + 4x + 1 ) ( 8x3 – 8x2 + 4x – 1) adalah...
Jawab:
( 8x3 + 8x2 + 4x + 1 ) ( 8x3 – 8x2 + 4x – 1)
= 64x6 – 64x5 + 32x4 – 8x3 + 64x5 – 64x4 + 32x3 – 8x2 + 32x4 – 32x3 + 16x2 – 4x + 8x3 – 8x2 + 4x – 1 (sifat distribusi)
= 64x6 +( (-64x5 )+ 64x5 ) + ((– 64x4) + 32x4 + 32x4) + ((– 8x3)+ 8x3)+ (32x3– 32x3)+(16x2– 8x2– 8x2 ) + (4x– 4x) – 1
(di klompokan dengan variabel sejenis)
= 64x6 – 1
Jadi bentuk sederhana dari (8x3+8x2+4x+1)(8x3–8x2+4x–1) adalah 64x6–1
[1] Nurharini, Dewi dan Tri Wahyuni, Matematika Konsep dan Aplikasinya untuk SMP/ MTS kelas 7. (Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Nasional, 2008), hlm.5.
[2] Sisworo dan Lukito, Matematika SMP/MTS untuk Kelas 7 Kurikulum 2013,( Jakarta: Politeknik Negeri Media Kreatif. 2013), hlm. 61-75.
[3] Ibid, hlm. 75.
[4] Ibid, hlm. 79-86.
[5] Ibid, hlm. 88.
[6] Ibid, hlm. 89.
[7] Ibid, hlm. 98.
[8] Ibid, hlm. 101.
[9] Ibid, hlm 107-112.
[10] Nurharini, Dewi dan Tri Wahyuni, Matematika Konsep dan Aplikasinya untuk SMP/ MTS kelas 7. (Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Nasional, 2008), hlm.33.
[11] Sisworo dan Lukito, Matematika SMP/MTS untuk Kelas 7 Kurikulum 2013,( Jakarta: Politeknik Negeri Media Kreatif. 2013), hlm. 61-75.
[12] Nurharini, Dewi dan Tri Wahyuni, Matematika Konsep dan Aplikasinya untuk SMP/ MTS kelas 7. (Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Nasional, 2008), hlm. 57.
[13] Ibid, hlm. 159.
[14] Ibid, hlm. 61.
[15] Ibid, hlm .64.
[16] Ibid, hlm. 80.
[17] Ibid, hlm. 83.
[18] Ibid, hlm 84.
[19] Ibid, hlm. 87.
[20] Ibid, hlm 89.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar